Question

已知函數(shù)f（x）=，其中a>0，

（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；

（Ⅱ）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）y=6x-9；（Ⅱ）a的范圍為。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，f（2）=3；

=, =6.

所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9

（Ⅱ）解：=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.     5分

以下分兩種情況討論：

（1）若，當(dāng)x變化時(shí)，，f（x）的變化情況如表：

x		0
	+	0	-
f（x）		極大值

當(dāng)等價(jià)于

解不等式組得-5<a<5.因此.

若a>2，則.當(dāng)x變化時(shí)，, f(x)的變化情況如下表：

x		0
	+	0	-	0	+
f(x)		極大值		極小值

當(dāng)時(shí)，f（x）>0等價(jià)于即

解不等式組得或.因此2<a<5.

綜上所述，a的范圍為

考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，不等式組的解法。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問(wèn)題，（1）主要應(yīng)用“切線斜率，等于函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值”。（2）則是不等式恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問(wèn)題后，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性確定最值，進(jìn)一步建立a的不等式組，達(dá)到解題目的。