已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+2,其中a>0
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)求a的范圍,使得方程x3-3ax+2=0有①唯一實根 ②三個不相等的根.
解:(1)f′(x)=3x
2-3a,由f′(x)=0得x=

∴f(x)的遞增區(qū)間(-∞,

),(

,+∞)遞減區(qū)間為(

,

),
f
極大值=f(

)=2a

+2,f
極小值=f(

)=-2a

+2;
(2)①要使方程有唯一實根,應有2a

+2<0或-2a

+2>0
解得0<a<1 即當a∈(0,1)方程有唯一的實根
②當方程有三個不相等的根時應有-2a

+2<0<2a

+2,
解得a>1,即當a∈(1,+∞)時方程有三個不相等的實根.
分析:(1)求導,令導數(shù)等于零,解方程,根據(jù)導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關系即可求出f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)方程x
3-3ax+2=0有①唯一實根,只要極大值小于零或極小值大于零即可,解此不等式即可求得結果;方程x
3-3ax+2=0有②三個不相等的根,只要極大值大于零且極小值小于零即可,解此不等式組即可求得結果.
點評:本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的應用、解不等式等基礎知識,以及推理能力、運算能力和綜合應用數(shù)學知識的能力,屬中檔題.