已知函數(shù)f（x）=x3-3ax+2，其中a＞0
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）求a的范圍，使得方程x3-3ax+2=0有①唯一實根　 ②三個不相等的根．

解：（1）f′（x）=3x2-3a，由f′（x）=0得x=
x（-∞，）（，）（，+∞）
f′（x）+0-0+
∴f（x）的遞增區(qū)間（-∞，），（，+∞）遞減區(qū)間為（，），
f極大值=f（）=2a+2，f極小值=f（）=-2a+2；
（2）①要使方程有唯一實根，應有2a+2＜0或-2a+2＞0
解得0＜a＜1 即當a∈（0，1）方程有唯一的實根
②當方程有三個不相等的根時應有-2a+2＜0＜2a+2，
解得a＞1，即當a∈（1，+∞）時方程有三個不相等的實根．
分析：（1）求導，令導數(shù)等于零，解方程，根據(jù)導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關系即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）方程x3-3ax+2=0有①唯一實根，只要極大值小于零或極小值大于零即可，解此不等式即可求得結果；方程x3-3ax+2=0有②三個不相等的根，只要極大值大于零且極小值小于零即可，解此不等式組即可求得結果．
點評：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的應用、解不等式等基礎知識，以及推理能力、運算能力和綜合應用數(shù)學知識的能力，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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