Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最值；
（2）不等式2f（x）+x²-ax+3≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知函數(shù)h（x）=

f(x)

x(x+1)

在區(qū)間[t，+∞）（t∈N^*）上存在極值，求t的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）的最值；
（2）先把已知等式轉(zhuǎn)化為a≤x+2lnx+

3

x

，設(shè)g（x）=x+2lnx+

3

x

，x∈（0，+∞），對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，只要a小于或等于最小值即可；
（3）把問題轉(zhuǎn)化為方程1+

1

x

-lnx=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=1+

1

x

-lnx，可得函數(shù)φ（x）有零點(diǎn)x₀∈（3，4），進(jìn)而可得答案．

解答： 解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=

1

e

∴

1

2

＜x＜

1

e

時(shí)，f′（x）＜0，

1

e

＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0
∴x=

1

e

時(shí)，函數(shù)取得最小值-

1

e

，x=

1

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值2ln2；
（2）2xlnx≥-x²+ax-3對x∈（0，+∞），
等價(jià)于a≤x+2lnx+

3

x

，
令g（x）=x+2lnx+

3

x

，x∈（0，+∞），
g′（x）=

(x+3)(x-1)

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)減，
當(dāng)x=1時(shí)，g′（x）=0，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)增，
∴g（x）_min=g（1）=4，
∴a≤4．
（3）h（x）=

f(x)

x(x+1)

=

lnx

x+1

，可知h′（x）=

1+ 1 x -lnx

(x+1)2

∵函數(shù)h（x）在區(qū)間[t，+∞）（t∈Z）上存在極值，
∴方程h′（x）=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，
∴方程1+

1

x

-lnx=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解
令φ（x）=1+

1

x

-lnx，
∵x＞0，∴φ′（x）=-

1

x2

-

1

x

＜0，
∴φ（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)
又φ（3）=

4

3

-ln3＞0，φ（4）=

5

4

-ln4＜0
∴函數(shù)φ（x）有零點(diǎn)x₀∈（3，4）
∵方程φ（x）=0在[t，+∞）上有解，且t∈Z，
∴t≤3，∴t的最大值為3．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)求最值的問題，考查構(gòu)造函數(shù)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查了學(xué)生對函數(shù)基礎(chǔ)知識的理解和靈活運(yùn)用．