已知函數(shù)f(x)=xlnx.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[
1
2
,2]上的最值;
(2)不等式2f(x)+x2-ax+3≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)已知函數(shù)h(x)=
f(x)
x(x+1)
在區(qū)間[t,+∞)(t∈N*)上存在極值,求t的最大值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求得函數(shù)f(x)的最值;
(2)先把已知等式轉(zhuǎn)化為a≤x+2lnx+
3
x
,設(shè)g(x)=x+2lnx+
3
x
,x∈(0,+∞),對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值,只要a小于或等于最小值即可;
(3)把問題轉(zhuǎn)化為方程1+
1
x
-lnx=0 在[t,+∞)(t∈Z)上有解,構(gòu)造函數(shù)φ(x)=1+
1
x
-lnx,可得函數(shù)φ(x)有零點(diǎn)x0∈(3,4),進(jìn)而可得答案.
解答: 解:(1)求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=1+lnx
令f′(x)=1+lnx=0,可得x=
1
e

1
2
<x<
1
e
時(shí),f′(x)<0,
1
e
<x<2時(shí),f′(x)>0
∴x=
1
e
時(shí),函數(shù)取得最小值-
1
e
,x=
1
2
時(shí),函數(shù)取得最大值2ln2;
(2)2xlnx≥-x2+ax-3對x∈(0,+∞),
等價(jià)于a≤x+2lnx+
3
x

令g(x)=x+2lnx+
3
x
,x∈(0,+∞),
g′(x)=
(x+3)(x-1)
x2

當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)減,
當(dāng)x=1時(shí),g′(x)=0,
當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)增,
∴g(x)min=g(1)=4,
∴a≤4.
(3)h(x)=
f(x)
x(x+1)
=
lnx
x+1
,可知h′(x)=
1+
1
x
-lnx
(x+1)2

∵函數(shù)h(x)在區(qū)間[t,+∞)(t∈Z)上存在極值,
∴方程h′(x)=0 在[t,+∞)(t∈Z)上有解,
∴方程1+
1
x
-lnx=0 在[t,+∞)(t∈Z)上有解
令φ(x)=1+
1
x
-lnx,
∵x>0,∴φ′(x)=-
1
x2
-
1
x
<0,
∴φ(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)
又φ(3)=
4
3
-ln3
>0,φ(4)=
5
4
-ln4<0
∴函數(shù)φ(x)有零點(diǎn)x0∈(3,4)
∵方程φ(x)=0在[t,+∞)上有解,且t∈Z,
∴t≤3,∴t的最大值為3.
點(diǎn)評:本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)求最值的問題,考查構(gòu)造函數(shù),考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查了學(xué)生對函數(shù)基礎(chǔ)知識的理解和靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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若函數(shù)f(x),g(x)的定義域和值域都是R,則f(x)>g(x)(x∈R)成立的充要條件是( 。
A、?x0∈R,f(x0)>g(x0
B、有無窮多個(gè)x∈R,使得f(x)>g(x)
C、?x∈R,f(x)>g(x)+1
D、R中不存在x使得f(x)≤g(x)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

M是橢圓
x2
16
+
y2
9
=1上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是其左右焦點(diǎn),則滿足∠F1MF2=
π
2
的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)是( 。
A、0B、1C、2D、4

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已知m、n是兩條不同的直線,α、β是兩個(gè)不同的平面,有下列命題:
①若m?α,n∥α,則m∥n;
②若m∥α,m∥β,則α∥β;
③若m⊥α,m⊥n,則n∥α;
④若m⊥α,m⊥β,則α∥β;
其中,真命題的個(gè)數(shù)是( 。
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
2x,x<2
2x
x+3
,x≥2
,若f(x)>f(0),則x的取值范圍是( 。
A、(0,2)∪(3,+∞)
B、(3,+∞)
C、(0,1)∪(2,+∞)
D、(0,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖(1),在四棱錐E-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,BE=BC,AE⊥BE,點(diǎn)M為CE上一點(diǎn),且BM⊥平面ACE.
(Ⅰ)求證:AE⊥BC;
(Ⅱ)若點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn),求證:MN∥平面ADE;
(Ⅲ)若BE=4,CE=4
2
,且二面角A-BC-E的大小為45°,如圖(2),試問棱DE上是否存在一點(diǎn)P,使得BP與平面ABE所成的角為30°?若存在,求PE的長度;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊DC上,且DF=
1
4
DC.將△ABE折起到三角形PBE的位置,且平面PBE⊥平面BCDE.
(1)證明:平面PBE⊥平面PEF;
(2)求直線PF與平面BCDE所成的角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=AA1=2CD=2,點(diǎn)P為棱CC1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:D1P∥平面A1BC;
(Ⅱ)求證:D1P⊥平面AB1D;
(Ⅲ)求異面直線A1C與D1P所成的角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex(x-a),a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)y=f(x)的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)y=
f(x)
x
在[1,+∞)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)試問是否存在實(shí)數(shù)x0,使得函數(shù)f(x)圖象上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不等于f(x0)?若存在求出x0的值,若不存在,請說明理由.

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