Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點．

（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）若E為線段PA上一點，且 ，求二面角P﹣OE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設F為DC的中點，連接BF，則DF=AB，

∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，

∴四邊形ABFD為正方形，

∵O為BD的中點，∴O為AF，BD的交點，

∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，

∵BD= = =2 ，

∴PO= = = ，AO= ，

在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，

∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．

（2）解：由（1）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，

∴過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以OP為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0），

F（1，1，0），C（1，3，0），P（0，0， ），O（0，0，0），

設E（a，b，c），∵ ，∴（a+1，b+1，c）=（ ），

∴ ，解得 ，∴E（﹣ ，﹣ ， ），

=（﹣ ，﹣ ， ）， =（0，0， ）， =（1，3，0）

設平面OPE的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，0），

設平面OEC的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a=3，得 =（3，﹣1，2 ），

設二面角P﹣OE﹣C的平面角為θ，

則cosθ=|cos＜ ， ＞|= = = ．

∴二面角P﹣OE﹣C的余弦值為 ．

【解析】（1）設F為DC的中點，連接BF，推導出四邊形ABFD為正方形，PO⊥BD，PO⊥AO，由此能證明PO⊥平面ABCD．（2）過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P﹣OE﹣C的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．