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3.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=12ax2-bx,設(shè)h(x)=f(x)-g(x).
(1)若g(2)=2,討論函數(shù)h(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)g(x)是關(guān)于x的一次函數(shù),且函數(shù)h(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,求b的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)g(2)=2,求出h(x)的表達(dá)式,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即可討論函數(shù)h(x)的單調(diào)性.
(2)根據(jù)函數(shù)g(x)是關(guān)于x的一次函數(shù),確定a=0,根據(jù)函數(shù)h(x)由兩個(gè)不同的零點(diǎn),即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)∵g(x)=12ax2-bx,
∴若g(2)=2,得a-b=1,即b=a-1,
∴h(x)=lnx-12ax2+bx,定義域?yàn)椋?,+∞),
h′(x)=1x-ax+b=ax2+a1x+1x=ax1x1x,
Ⅰ當(dāng)a≥0時(shí),h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.
Ⅱ當(dāng)a<0時(shí),令h′(x)=0,得x=1,或x=-1a,
①當(dāng)a<-1時(shí),則0<-1a<1,則函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,-1a)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1a,1)上單調(diào)遞減;
②當(dāng)a=-1時(shí),h′(x)<0,則函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞減;
③當(dāng)-1<a<0時(shí),則-1a>1,則函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1)和(-1a,+∞)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,-1a) 上單調(diào)遞減;
(2)∵函數(shù)g(x)是關(guān)于x的一次函數(shù),
∴h(x)=lnx+bx,其定義域?yàn)椋?,+∞),
由h(x)=0,得b=-lnxx,
記φ(x)=-lnxx,則φ′(x)=lnx1x2
∴φ(x)=-lnxx在(0,e)單調(diào)減,在(e,+∞)但單調(diào)增,
∴當(dāng)x=e時(shí),φ(x)=-lnxx 取得最小值-1e,
又φ(1)=0∴x∈(0,1)時(shí),φ(x)>0,而x∈(1,+∞)時(shí),φ(x)<0,
∴b的取值范圍是(-1e,0).

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的求導(dǎo)由此來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及分類討論a來確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù).還有零點(diǎn)存在定理問題.

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