Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）離心率為，其短軸長為2．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，A為橢圓C的左頂點(diǎn)，P，Q為橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，直線PO交AQ于E，直線QO交AP于D，直線OP與直線OQ的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝，（λ，μ為非零實(shí)數(shù)），求λ2+μ2的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1

【解析】

（1）由題意可得b＝1，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）求得A的坐標(biāo)，設(shè)P（x1，y1），D（x0，y0），運(yùn)用向量共線坐標(biāo)表示，結(jié)合條件求得P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，可得λ2＝，同理得μ2＝，即可得λ2+μ2的值．

（1）因?yàn)槎梯S長2b＝2，所以b＝1，又離心率e＝，且a2﹣b2＝c2，

解得a＝，c＝1，則橢圓C的方程為+y2＝1；

（2）由（1）可得點(diǎn) A（﹣，0），設(shè)P（x1，y1），D（x0，y0），則y1＝k1x1，y0＝k2x0，

由可得x0+＝λ（x﹣x0），y0＝λ（y1﹣y0），

即有x0＝，k1x1＝y(tǒng)1＝y0＝k2x0＝k2（x1﹣），

兩邊同乘以k1，可得k12x1＝k1k2（x1﹣）＝﹣（x1﹣），

解得x1＝，將P（x1，y1）代入橢圓方程可得λ2＝，

由可得μ2＝，可得λ2+μ2＝1．