Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．

(1)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)求證：無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有；
(3)當(dāng)為何值時(shí),與平面所成角的大小為45°.

Answer 1

(1)EF//面PAC (2)因PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA，又DA⊥AB，所以DA⊥面PAB，又DA//CB，所以CB⊥面PAB所以，因?yàn)锳F⊥PB所以AF⊥面PBC有 (3)

試題分析：⑴當(dāng)E是BC中點(diǎn)時(shí)，因F是PB的中點(diǎn)，所以EF為的中位線，
故EF//PC，又因面PAC，面PAC，所以EF//面PAC     4分
⑵證明：因PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA，又DA⊥AB，所以DA⊥面PAB，
又DA//CB，所以CB⊥面PAB，而面PAB，所以，
又在等腰三角形PAB中，中線AF⊥PB，PBCB=B，所以AF⊥面PBC.
而PE面PBC，所以無論點(diǎn)E在BC上何處，都有      8分
⑶以A為原點(diǎn)，分別以AD、AB、AP為x\y\z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，，設(shè)面PDE的法向量為，
由，得，取，又，
則由，得，解得.
故當(dāng)時(shí)，PA與面PDE成角         12分
點(diǎn)評(píng)：證明線面平行時(shí)常借助于已知的中點(diǎn)轉(zhuǎn)化為線線平行，第三問求線面角采用空間向量的方法思路較簡單，只需求出直線的方向向量與平面的法向量，代入公式即可