Question

【題目】函數(shù)f（x）=ax3﹣3x+1 對(duì)于x∈[﹣1，1]總有f（x）≥0成立，則a 的取值范圍為（ ）
A.[2，+∞）
B.[4，+∞）
C.{4}
D.[2，4]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=1≥0，對(duì)于a∈R皆成立．
②當(dāng)0＜x≤1時(shí)，若總有f（x）≥0，則ax3﹣3x+1≥0，∴ ，
令g（x）= ，g′（x）= = ，令g′（x）=0，解得x= ．
當(dāng)0 時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng) 時(shí)，g′（x）＜0．
∴g（x）在x= 時(shí)取得最大值，g（ ）=4，∴a≥4．
③當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，若總有f（x）=0，則 ax3﹣3x+1≥0，∴a≤ ．
令h（x）= ，則h′（x）= ≥0，
∴h（x）在[﹣1，0）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，h（x）取得最小值，h（﹣1）=4，∴a≤4．
由①②③可知：若函數(shù)f（x）=ax3﹣3x+1 對(duì)于x∈[﹣1，1]總有f（x）≥0成立，則a必須滿足 ，解得a=4．
∴a 的取值范圍為{4}．
故選C．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的極值的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況．