Question

設(shè)S_n是正項數(shù)列{a_n}的前n項和且n∈N^*，S_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n-

3

4

，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得S1=a1=

1

4

a12+

1

2

a1-

3

4

，S_n-S_n-1=a_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n-

1

4

a_n-1²-

1

2

a_n-1，從而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，進(jìn)而推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出a_n．

解答： 解：∵S_n是正項數(shù)列{a_n}的前n項和且n∈N^*，S_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n-

3

4

，①
∴n=1時，S1=a1=

1

4

a12+

1

2

a1-

3

4

，
整理，得a12-2a1-3=0，
解得a₁=3或a₁=-1（舍），
當(dāng)n≥2時，S_n-1=

1

4

a_n-1²+

1

2

a_n-1-

3

4

，②
①-②，得：S_n-S_n-1=a_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n-

1

4

a_n-1²-

1

2

a_n-1，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵正項數(shù)列{a_n}中，a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1-1=0，
∴數(shù)列{a_n}是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=3+（n-1）×1=n+2．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要注意遞推公式和等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．