已知點P(m,-1)(m∈R),過點P作拋物線C:y=x2的切線,切點分別為A(x1,y1)、B(x2,y2).
(1)若過點P的切線的斜率為1,求m的值;
(2)證明x1,m,x2成等差數(shù)列;
(3)若以點P為圓心的圓E與直線AB相切,求圓E面積的最小值.
【答案】
分析:(1)設(shè)出點P的坐標,利用導數(shù)求出P的斜率等于1,求m的值;
(2)求出y=x
2的導數(shù),通過直線PA與曲線C相切,利用斜率相等,推出x
1+x
2=2m,即可證明x
1,m,x
2成等差數(shù)列;另解,利用方程直接求出方程的根,推出x
1+x
2=2m,得到x
1,m,x
2成等差數(shù)列.
(3)通過(2)求出AB的斜率,AB的方程,利用點P到直線AB的距離即為圓E的半徑,就是以點P為圓心的圓E與直線AB相切,求出r的表達式,利用換元法與基本不等式,求出r的最小值,即可求圓E面積的最小值.
解答:解:(1)設(shè)切點的坐標為(x
,y
),∵y′=2x
=1,∴
,∵
,
且
,∴
,解得
;
(2)由y=x
2可得,y′=2x.∵直線PA與曲線C相切,且過點P(m,-1),
∴
,即x
12-2mx
1-1=0,同理x
22-2mx
2-1=0,
∴x
1,x
2為方程x
2-2mx-1=0兩個根,因此x
1+x
2=2m,故x
1,m,x
2成等差數(shù)列.
(注:另解,由x
12-2mx
1-1=0得
,或
,同理可得:
,或
,∵x
1<x
2,∴
,
. 因此x
1+x
2=2m,故x
1,m,x
2成等差數(shù)列.
(3)由(2)可知,x
1+x
2=2m,x
1•x
2=-1,則直線AB的斜率
,∴直線AB的方程為:y-y
1=(x
1+x
2)(x-x
1),又y
1=x
12,∴y-x
12=(x
1+x
2)x-x
12-x
1x
2,即2mx-y+1=0.
∵點P到直線AB的距離即為圓E的半徑,即
,
設(shè)4m
2+1=t,t≥1,則
=
,
當且僅當t=3時,等號成立,即
,
時取等號.
故圓E面積的最小值S=πr
2=3π.
點評:本題是中檔題,考查直線與圓的位置關(guān)系,函數(shù)的導數(shù)的性質(zhì),基本不等式,證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法等知識,考查分析問題解決問題的能力,轉(zhuǎn)化思想,換元法.