已知點P(m,-1)(m∈R),過點P作拋物線C:y=x2的切線,切點分別為A(x1,y1)、B(x2,y2).
(1)若過點P的切線的斜率為1,求m的值;
(2)證明x1,m,x2成等差數(shù)列;
(3)若以點P為圓心的圓E與直線AB相切,求圓E面積的最小值.
【答案】分析:(1)設(shè)出點P的坐標,利用導數(shù)求出P的斜率等于1,求m的值;
(2)求出y=x2的導數(shù),通過直線PA與曲線C相切,利用斜率相等,推出x1+x2=2m,即可證明x1,m,x2成等差數(shù)列;另解,利用方程直接求出方程的根,推出x1+x2=2m,得到x1,m,x2成等差數(shù)列.
(3)通過(2)求出AB的斜率,AB的方程,利用點P到直線AB的距離即為圓E的半徑,就是以點P為圓心的圓E與直線AB相切,求出r的表達式,利用換元法與基本不等式,求出r的最小值,即可求圓E面積的最小值.
解答:解:(1)設(shè)切點的坐標為(x,y),∵y′=2x=1,∴,∵,
,∴,解得;
(2)由y=x2可得,y′=2x.∵直線PA與曲線C相切,且過點P(m,-1),
,即x12-2mx1-1=0,同理x22-2mx2-1=0,
∴x1,x2為方程x2-2mx-1=0兩個根,因此x1+x2=2m,故x1,m,x2成等差數(shù)列.
(注:另解,由x12-2mx1-1=0得,或,同理可得:,或,∵x1<x2,∴.  因此x1+x2=2m,故x1,m,x2成等差數(shù)列.
(3)由(2)可知,x1+x2=2m,x1•x2=-1,則直線AB的斜率,∴直線AB的方程為:y-y1=(x1+x2)(x-x1),又y1=x12,∴y-x12=(x1+x2)x-x12-x1x2,即2mx-y+1=0.
∵點P到直線AB的距離即為圓E的半徑,即,
設(shè)4m2+1=t,t≥1,則=,
當且僅當t=3時,等號成立,即,時取等號.
故圓E面積的最小值S=πr2=3π.
點評:本題是中檔題,考查直線與圓的位置關(guān)系,函數(shù)的導數(shù)的性質(zhì),基本不等式,證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法等知識,考查分析問題解決問題的能力,轉(zhuǎn)化思想,換元法.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,直線l1和l2相交于點M且l1⊥l2,點N∈l1.以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形,|AM|=
17
,|AN|=3,且|BN|=6.
(1)曲線段C是哪類圓錐曲線的一部分?并建立適當?shù)淖鴺讼,求曲線段C所在的圓錐曲線的標準方程;
(2)在(1)所建的坐標系下,已知點P(m,n)在曲線段C上,直線l:mx+ny=1,求直線l被圓x2+y2=1截得的弦長的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點P(m,-1)(m∈R),過點P作拋物線C:y=x2的切線,切點分別為A(x1,y1)、B(x2,y2).
(1)若過點P的切線的斜率為1,求m的值;
(2)證明x1,m,x2成等差數(shù)列;
(3)若以點P為圓心的圓E與直線AB相切,求圓E面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年天津市2010-2011學年高三第三次月考理科數(shù)學卷 題型:解答題

已知點P到點M(-1,0)的距離與點P到點N(1,0)的距離之比為

   (1)求點P到軌跡方程H;

   (2)過點M做H的切線,求點N到的距離;

   (3)求H關(guān)于直線對稱的曲線方程

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知點P(m,-1)(m∈R),過點P作拋物線C:y=x2的切線,切點分別為A(x1,y1)、B(x2,y2).
(1)若過點P的切線的斜率為1,求m的值;
(2)證明x1,m,x2成等差數(shù)列;
(3)若以點P為圓心的圓E與直線AB相切,求圓E面積的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案