已知f(x)=lnx,g(x)=
1
2
ax2-
1
2
ax,a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=2時,求F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x≥1時,xf(x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)當(dāng)a=2時,F(xiàn)(x)=lnx-x2+x,x>0,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間,
(Ⅱ)分離參數(shù)數(shù),x≥1時,xf(x)≤g(x)恒成立,轉(zhuǎn)化為a≥
2lnx
x-1
,設(shè)h(x)=
2lnx
x-1
,再利用數(shù)形結(jié)合的思想,求出最大值為h(1)=2,故求出a的范圍.
解答: 解:(Ⅰ)∵f(x)=lnx,g(x)=
1
2
ax2-
1
2
ax,a∈R.
當(dāng)a=2時,
∴F(x)=f(x)-g(x)=lnx-x2+x,x>0,
∴F′(x)=
1
x
-2x+1=-
(2x+1)(x-1)
x

令F′(x)=0,解得x=1,
當(dāng)0<x<1時,F(xiàn)′(x)<0,函數(shù)F(x)為減函數(shù),
當(dāng)x>1時,F(xiàn)′(x)>0,函數(shù)F(x)為增函數(shù),
故函數(shù)F(x)的單調(diào)增區(qū)間為[1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,1)
(Ⅱ)∵當(dāng)x≥1時,xf(x)≤g(x)恒成立,
∴xf(x)-g(x)≤0恒成立,
即xlnx-(
1
2
ax2-
1
2
ax)≤0恒成立,
∴a≥
2lnx
x-1
,
設(shè)h(x)=
2lnx
x-1

∴h′(x)=
2(x-1-xlnx)
x(x-1)2

再設(shè)m(x)=x-1-xlnx,
∴m′(x)=1-(lnx+1)=-lnx<0,
∴m(x)=x-1-xlnx在[1,+∞)為減函數(shù),
∴m(x)=x-1-xlnx有最大值,最大值為m(1)=1-1-ln1=0,
∴h′(x)=
2(x-1-xlnx)
x(x-1)2
≤0,
∴h(x)=
2lnx
x-1
在[1,+∞)為減函數(shù),
∴h(x)有最大值,最大值為h(1)=2,
∴a≥2,
故實數(shù)a的取值范圍是[2,+∞)
點評:本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,參數(shù)的取值范圍的問題,分離參數(shù)法,是參數(shù)的常用方法,屬于中檔題.
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3
5
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