Question

某公司需制作容積為216ml的長(zhǎng)方體形飲料盒，飲料盒底面的長(zhǎng)是寬的2倍．當(dāng)飲料盒底面的寬為多少時(shí)，才能使它的用料最��？

Answer 1

分析：設(shè)飲料盒底面的寬為x cm，高為h cm，則底面長(zhǎng)為2x cm．由題意，得216=2hx²，從而得h=

216

2x2

．用料最省，即長(zhǎng)方體表面積最小，利用導(dǎo)數(shù)即可求得其最小值．

解答：解：設(shè)飲料盒底面的寬為x cm，高為h cm，則底面長(zhǎng)為2x cm．
根據(jù)V=x•2x•h，可得216=2hx²，所以h=

216

2x2

．
所以，表面積S（x）=2（x•2x+x•h+2x•h）
=2（2x²+3x•

216

2x2

）=4（x²+

162

x

）（x＞0），
由S′（x）=4（2x-

162

x2

）=0，得x=3

3	3

．   
當(dāng)0＜x＜3

3	3

時(shí)，S′（x）＜0，函數(shù)S（x） 在（0，3

3	3

）是減函數(shù)；
當(dāng)x＞3

3	3

時(shí)，S′（x）＞0，函數(shù)S（x） 在（3

3	3

，+∞）是增函數(shù)．
所以，當(dāng)x=3

3	3

時(shí)，S（x）取得極小值，且是最小值．
答：當(dāng)飲料盒底面的寬為3

3	3

cm時(shí)，才能使它的用料最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)若有唯一極值點(diǎn)，則即為最值點(diǎn)，應(yīng)用題注意步驟的規(guī)范性．