Question

選修4-5：不等式選講．
已知函數（e≈2.718…）
（ I）若x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂．求證：；
（ II）若滿足f（|a|+3）＞f（|a-4|+1）．試求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）…（2分）
∴x₁x₂＞1＞0，∴＞0，
∵x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂
∴…（5分）
（II）由（ I）可知，f（x）在[1，+∞）為單調增函數．
∵|a|+3＞1，|a-4|+1≥1且f（|a|+3）＞f（|a-4|+1）
∴|a|+3＞|a-4|+1…（7分）
當a≤0時，-a+3＞4-a+1，
∴3＞5，∴a∈∅；
當0＜a＜4時，a+3＞4-a+1，
∴a＞1，∴1＜a＜4；
當a≥4時，a+3＞a-4+1，
∴3＞-3，∴a≥4
綜上所述：a＞1…（10分）
分析：（ I）根據函數f（x）的表達式化簡，再結合條件即可證得；
（ II）由（ I）可知，f（x）在[1，+∞）為單調增函數．根據|a|+3＞1，|a-4|+1≥1且f（|a|+3）＞f（|a-4|+1）得出|a|+3＞|a-4|+1，下面對a分類討論：當a≤0時；當0＜a＜4時；當a≥4時．即可得出實數a的取值范圍．
點評：本題考查了函數單調性的性質，以及證明不等式，有一定的難度，是一道很好的中檔題．