Question

如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x2＝2py(p>0)上．

(1)求拋物線E的方程；

(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y＝－1相交于點Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點．

 

Answer 1

（1）x2＝4y.（2）見解析

【解析】(1)依題意，OB＝8，∠BOy＝30°.設(shè)B(x，y)，則x＝OBsin30°＝4，y＝OBcos30°＝12.因為點B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故拋物線E的方程為x2＝4y.

(2)由(1)知y＝x2，y′＝x.設(shè)P(x0，y0)，

則x0≠0，y0＝，且l的方程為y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－.

由得所以Q為.

設(shè)M(0，y1)，令·＝0對滿足y0＝(x0≠0)的x0，y0恒成立．

由于＝(x0，y0－y1)，＝，

由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋＝0，即(＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)

由于(*)式對滿足y0＝(x0≠0)的y0恒成立，所以解得y1＝1.

故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0，1)．