已知正項數(shù)列{an},其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項an
(2)bn=20-an,Tn前n項和,求Tn的最值.
分析:(1)先根據(jù)10Sn=an2+5an+6求出a1的值,再結(jié)合10Sn-1=an-12+5an-1+6可得到(an+an-1)(an-an-1-5)=0,進而得到an-an-1=5可求出an=5n-3.
(2)根據(jù)(1)中{an}的通項an可得到bn=20-an=23-5n,再由等差數(shù)列的前n項和公式可得到Tn的表達式,進而求出Tn的最大值.
解答:解:(1)∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②
由①-②得 10an=(an2-an-12)+5(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
∵an+an-1>0,∴an-an-1=5 (n≥2).
當(dāng)a1=3時,a3=13,a15=73.a(chǎn)1,a3,a15不成等比數(shù)列∴a1≠3;
當(dāng)a1=2時,a3=12,a15=72,有 a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n-3.
(2)∵bn=20-an=23-5n
所以Tn=
n(18+23-5n)
2
=
n(41-5n)
2
=
-5
2
(n-
41
10
) 2+
1681
20

當(dāng)n=4時,Tn取得最大值42.
點評:本題主要考查求數(shù)列通項公式、等差數(shù)列的前n項和公式.考查綜合運用能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正項數(shù)列{an}滿足:a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2(n>1,n∈N*
(1)求證:數(shù)列{
an
2n+1
}
為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項an
(2)設(shè)bn=
1
an
,求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,并求Sn的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:稱
n
a1+a2+…+an
為n個正數(shù)a1,a2,…,an的“均倒數(shù)”,已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為
1
2n
,則
lim
n→∞
nan
sn
( 。
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正項數(shù)列an中,a1=2,點(
an
,an+1)
在函數(shù)y=x2+1的圖象上,數(shù)列bn中,點(bn,Tn)在直線y=-
1
2
x+3
上,其中Tn是數(shù)列bn的前項和.(n∈N+).
(1)求數(shù)列an的通項公式;
(2)求數(shù)列bn的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an2+2an(n∈N+),令bn=log2(an+1).
(1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(2)記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1log2bn+2
}
的前n項和,是否存在實數(shù)a,使得不等式Tn<log0.5(a2-
1
2
a)
對?n∈N+恒成立?若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正項數(shù)列{an},Sn=
1
8
(an+2)2

(1)求證:{an}是等差數(shù)列;
(2)若bn=
1
2
an-30
,求數(shù)列{bn}的前n項和.

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