Question

14．設(shè)F₁，F(xiàn)為橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1，（a₁＞b₁＞0）與雙曲線C₂的公共左、右焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)M，△MF₁F₂是以線段MF₁為底邊的等腰三角形，且|MF₁|=2，若橢圓C₁的離心率e∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，則雙曲線C₂的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{3}$]
• B． [$\frac{3}{2}$，++∞）
• C． （1，4]
• D． [$\frac{3}{2}$，4]

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)雙曲線C₂的離心率為e₁，橢圓與雙曲線的半焦距為c．由橢圓的定義及其題意可得：|MF₂|=|F₁F₂|=2c，|MF₁|=2a-2c．由雙曲線的定義可得：2a-2c-2c=2a₁，即a-2c=a₁，可得$\frac{1}{e}$-2=$\frac{1}{{e}_{1}}$，利用e∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，即可得出雙曲線C₂的離心率的取值范圍．

解答 解：如圖所示，
設(shè)雙曲線C₂的離心率為e₁．
橢圓與雙曲線的半焦距為c．
由橢圓的定義及其題意可得：|MF₂|=|F₁F₂|=2c，|MF₁|=2a-2c．
由雙曲線的定義可得：2a-2c-2c=2a₁，即a-2c=a₁，
∴$\frac{1}{e}$-2=$\frac{1}{{e}_{1}}$，
∵e∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，∴$\frac{1}{e}$∈[$\frac{9}{4}$，$\frac{8}{3}$]，
∴$\frac{1}{{e}_{1}}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{3}$]．
∴e₁∈[$\frac{3}{2}$，4]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．