Question

【題目】已知圓C：（x﹣1）2+y2=16，F(xiàn)（﹣1，0），M是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段MF的垂直平分線(xiàn)與線(xiàn)段MC相交于點(diǎn)P．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）記點(diǎn)P的軌跡為C1 ， A、B是直線(xiàn)x=﹣2上的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足AF⊥BF，曲線(xiàn)C1與過(guò)A，B的兩條切線(xiàn)（異于x=﹣2）交于點(diǎn)Q，求四邊形AQBF面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意得圓心C（0，1），半徑r=4， ∵線(xiàn)段MF的垂直平分線(xiàn)與線(xiàn)段MC相交于點(diǎn)P，
∴|PF|+|PC|=|PM|+|PC|=CM=4＞|CF|=2．
∴點(diǎn)P的軌跡方程是以C，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
即a=2，c=1，則b=22﹣1=3，
∴P的軌跡方程是 ．
（Ⅱ）依題意，直線(xiàn)AF斜率存在且不為零，設(shè)為y=k（x+1），
令x=﹣2得A（﹣2，﹣k），同理B（﹣2， ）．
設(shè)過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)為y=k1（x+2）﹣k，代入
得 x+4[（2k1﹣k）2﹣3]=0．
由 ，解得 ，
同理k2= = ．
聯(lián)立方程組： ，解得x=﹣4．
∴ = ，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)等號(hào)成立，
∴四邊形AQBF面積的取值范圍是[3，+∞）．

【解析】（I）利用中垂線(xiàn)的性質(zhì)得出|PF|+|PC|=4，于是P點(diǎn)軌跡為橢圓，根據(jù)橢圓定義得出橢圓方程；（II）設(shè)AF的斜率為k，用k表示出A，B的坐標(biāo)，設(shè)過(guò)A點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為k1 ， 聯(lián)立方程組得出k1和k的關(guān)系，同理得出過(guò)B點(diǎn)的切線(xiàn)方程，再聯(lián)立方程組得出Q點(diǎn)坐標(biāo)，得出四邊形面積關(guān)于k的解析式，利用不等式得出面積的范圍．