Question

已知函數(shù)f（x）=x3-(

3

2

m+1)x2+2mx(m∈R)．
（1）若m=1，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)g（x）=

1

4

x[f(x)+(

3

2

m+1)x2]+(3-m)lnx至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x3-(

3

2

m+1)x2+2mx(m∈R)，m=1，知f′（x）=3x²-5x+2=（3x-2）（x-1），由此能得到m=1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）由g（x）=

1

4

x4+

1

2

mx2+(3-m)lnx，(x＞0)，知g′(x)=

x4+mx2+(3-m)

x

，x＞0令g′（x）=0，得x⁴+mx²+（3-m）=0，由此進(jìn)行分類討論，能求出f（x）至少一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x3-(

3

2

m+1)x2+2mx(m∈R)，
m=1，
∴f′（x）=3x²-5x+2=（3x-2）（x-1），
令f′（x）＞0，得x＜

2

3

，或x＞1，
由f′（x）＜0，得

2

3

＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，

2

3

），（1，+∞）上為增函數(shù)，
在（

2

3

，1）上為減函數(shù)．
（2）∵g（x）=

1

4

x4+

1

2

mx2+(3-m)lnx，(x＞0)
∴g′(x)=x3+mx+

3-m

x

，x＞0，
∴g′(x)=

x4+mx2+(3-m)

x

，x＞0
令g′（x）=0，得x⁴+mx²+（3-m）=0（*），
①當(dāng)△=m²-4（3-m）≤0，
即-6≤m≤2時(shí)，
方程（*）無(wú)解，此時(shí)g（x）無(wú)極值點(diǎn)．
②當(dāng)△=m²-4（3-m）＞0，
即m＜-6或m＞2時(shí)，
（i）當(dāng)3-m＜0，即m＞3時(shí)，方程（*）有一正、一負(fù)兩個(gè)根，
∵t=x²，∴方程x⁴+mx²+（3-m）=0只有一個(gè)正數(shù)解，
此時(shí)g（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)．
（ii）當(dāng)

m＜-6，或m＞2 -m＞0 3-m＞0

時(shí)，即m＜-6時(shí)，
方程（*）有兩個(gè)相異正根，
∵t=x²，∴方程x⁴+mx²+（3-m）=0恰有兩個(gè)相異正數(shù)解，
此時(shí)g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
由①②知，g（x）至少一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是m＜-6或m＞3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和導(dǎo)數(shù)知識(shí)的合理運(yùn)用．