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5.已知F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1ab0的兩個(gè)焦點(diǎn),P在橢圓上,且△PF1F2的面積為22b2,則cos∠F1PF2=13

分析 由已知條件利用橢圓定義和余弦定理列出方程組,再由三角形面積利用正弦定理求出1-cosθ=\sqrt{2}sinθ,由此利用sin2θ+cos2θ=1,能求出cosθ.

解答 解:∵F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)為橢圓\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),
P在橢圓上,且△PF1F2的面積為\frac{{\sqrt{2}}}{2}{b^2},
\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}+2|P{F}_{1}|•{|PF}_{2}|=4{a}^{2}}\\{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|cos{∠F}_{1}P{F}_{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.
整理,得|PF1|•|PF2|=\frac{2^{2}}{1-cos∠{F}_{1}P{F}_{2}},
∵△PF1F2的面積為\frac{{\sqrt{2}}}{2}{b^2},
\frac{1}{2}×\frac{2^{2}}{1-cos∠{F}_{1}P{F}_{2}}×sin∠F1PF2=\frac{\sqrt{2}}{2}^{2},
∴1-cos∠F1PF2=\sqrt{2}sin∠F1PF2,
∵sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1,∴cos∠F1PF2=\frac{1}{3}
故答案為:\frac{1}{3}

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)、余弦定理的合理運(yùn)用.

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