Question

已知函數(shù)f（x）=g（x）•e^-x在x=

π

6

處有極值，則函數(shù)y=g（x）的圖象可能是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先對(duì)f（x）求導(dǎo)，再利用極值的性質(zhì)，得到f′（

π

6

）=0，即g′（

π

6

）=g（

π

6

），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得在x=

π

6

處的導(dǎo)數(shù)值即切線的斜率，等于

π

6

的函數(shù)值，再對(duì)選項(xiàng)一一加以判斷，即可得到A正確，B，C，D均錯(cuò)．

解答： 解：函數(shù)f（x）=g（x）•e^-x在的導(dǎo)數(shù)f′（x）=g′（x）•e^-x+g（x）•e^-x•（-1）
=e^-x•（g′（-x）-g（x）），
由于函數(shù)f（x）=g（x）•e^-x在x=

π

6

處有極值，
則f′（

π

6

）=0，即有g(shù)′（

π

6

）-g（

π

6

）=0，即g′（

π

6

）=g（

π

6

），
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得在x=

π

6

處的導(dǎo)數(shù)值即切線的斜率，等于

π

6

的函數(shù)值，
對(duì)于A．在x=

π

6

處的切線的斜率為負(fù)值，函數(shù)值也為負(fù)，故A正確；
對(duì)于B．在x=

π

6

處的切線的斜率為負(fù)值，函數(shù)值為正，故B錯(cuò)；
對(duì)于C．在x=

π

6

處的切線的斜率為正值，函數(shù)值為負(fù)，故C錯(cuò)；
對(duì)于D．在x=

π

6

處的切線的斜率為正值，函數(shù)值為0，故D錯(cuò)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，考查極值的概念及運(yùn)用，考查判斷能力和觀察能力，屬于中檔題．