Question

設函數(shù)設函數(shù)f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導函數(shù)，g（x）=f（x）+f'（x）．
（1）求g（x）的單調區(qū)間和最小值；
（2）討論g（x）與的大小關系；
（3）是否存在x₀＞0，使得對任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由f（1）=0，導函數(shù)可知f（x）=lnx，x＞0，
∵g（x）=f（x）+f'（x），∴．
求導函數(shù)可得，
所以當x∈（0，1）時，g'（x）＜0；x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，
故函數(shù)的單調增區(qū)間為（1，+∞），單調減區(qū)間為（0，1），極小值為g（1）=1
∵函數(shù)在定義域上僅有一個極小值，∴也為最小值，最小值為g（1）=1．
（2）設，則，故函數(shù)在定義域內為減函數(shù)，
∵φ（1）=0，
∴當x∈（0，1）時，φ（x）＞0，即g（x）＞；x∈（1，+∞）時，φ（x）＜0，即g（x）＜；x=1時，g（x）=．
（3）假設存在滿足題設的x₀，則，對任意x＞0成立，
從而有
∵lnx→+∞，
∴無解，故不存在．
分析：（1）根據題意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），求導，根據導數(shù)的正負取得函數(shù)的單調區(qū)間，從而可得函數(shù)的最小值；
（2）構造函數(shù)φ（x），利用導數(shù)求該函數(shù)的最小值，從而求得g（x）與的大小大小關系；
（3）假設存在x₀＞0，使得對任意x＞0成立，轉化為封閉型命題，利用研究函數(shù)的最值可得結論．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和在閉區(qū)間上的最值問題，考查分類討論的思想方法．其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．