Question

【題目】設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列 ， ， ， 為 階“期待數(shù)列”：
① ；
② .
（1）分別寫出一個(gè)單調(diào)遞增的 3 階和 4 階“期待數(shù)列”.
（2）若某 2017 階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（3）記 階“期待數(shù)列”的前 項(xiàng)和為 ，試證： .

Answer 1

【答案】
（1）解：三階： 1 2 ， 0 ， 1 2 四階： 3 8 ， 1 8 ， 1 8 ， 3 8 ．
（2）解：設(shè)等差數(shù)列 ， ， ， ， 公差為 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 且 時(shí)與①②矛盾，
時(shí)，由①②得： ，
∴ ，即 ，
由 得 ，即 ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
時(shí)，同理得 ，
即 ，
由 得 即 ，
∴ ，
∴ 時(shí)， ．
（3）解：當(dāng) 時(shí)，顯然 成立；
當(dāng) 時(shí)，根據(jù)條件①得 ，
，
即 ，
，
∴ ，
∴ ．
【解析】(1)弄清新定義n 階“期待數(shù)列”的含義,寫出3 階“期待數(shù)列”和4 階“期待數(shù)列”即可;
(2)由2017 階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列,則要求數(shù)列有2017項(xiàng),且這2017項(xiàng)的和為0,絕對(duì)值的和為1,設(shè)出數(shù)列的公差,對(duì)公差d=0,d>0,d<0,分別討論求出通項(xiàng);
(3)廡討論k=n時(shí),由定義得證,再討論k<n時(shí),由絕對(duì)值的性質(zhì)即可證明不等式.