Question

下列4個(gè)命題：
①已知

e

是單位向量，|

a

+

e

|=|

a

-2

e

|，則

a

在

e

方向上的投影為

1

2

；
②關(guān)于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，則a的取值范圍是a＜2

2

；
③函數(shù)f（x）=alog₂|x|+x+b為奇函數(shù)的充要條件是a+b=0；
④將函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin2x的圖象
其中正確的命題序號(hào)是

①

（填出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：化簡(jiǎn)①由已知化簡(jiǎn)可得

a

•

e

=

1

2

e

2，而要求的等于|

a

|cos＜

a

，

e

＞，代入化簡(jiǎn)，即可判斷正誤．②不等式恒成立轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值進(jìn)行判斷出；③通過(guò)舉反例對(duì)③進(jìn)行判斷；④利用函數(shù)圖象的平移判斷正誤即可；

解答：解：對(duì)于①，∵|

a

+

e

|=|

a

-2

e

|，∴（|

a

+

e

|）²=（|

a

-2

e

|）²，
展開(kāi)化簡(jiǎn)可得：

a

•

e

=

1

2

e

2，
故

a

在

e

方向上的投影等于|

a

|cos＜

a

，

e

＞=

a • e

| e |

=

1

2

，所以①正確．
對(duì)于②∵0≤sin²x≤1，令sin²x=t，
∴sin2x+

2

sin2x

=t+

2

t

，則令f（t）=t+

2

t

，t∈[0，1]，
根據(jù)其圖象可知，當(dāng)x＞

2

時(shí)，f（t）為遞增的，當(dāng)0＜x≤

2

時(shí)，f（t）為遞減的，
∵t∈[0，1]，∴f（t）≥f（1）=1+2=3，∴sin2x+

2

sin2x

≥3
∵a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立時(shí)，只要a小于sin2x+

2

sin2x

的最小值即可，所以a＜3，所以②不正確．
對(duì)于③當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，雖然有a+b=0，但f（x）不是奇函數(shù)，故③錯(cuò)，
對(duì)于④將函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的圖象，所以④不正確．
正確只有①．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的投影，轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)來(lái)運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，不等式恒成立問(wèn)題，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，屬基礎(chǔ)題．