Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：DF⊥AP；
（2）在線段AD上是否存在點(diǎn)G，使GF⊥平面PBC？若存在，說明點(diǎn)G的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理平移作出異面直線所成的角，再利用余弦定理即可求出；
（2）利用平行四邊形、線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可得出．

解答：證明：（1）取AB中點(diǎn)E，連接EF，DE
∵E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)，
∴EF∥AP，
∴AP 和DF所成的角即為EF和DF所成的角，即∠DFE或其補(bǔ)角；
由已知四邊形ABCD是正方形，
假設(shè)PD=DC=a，
則有DB=

2

a，PB=

3

a，DF=

3

2

aAE=

a

2

，DE=

5

2

a，PA=

2

a，EF=

2

2

a
∴cos∠DFE=

DF2+EF2-DE2

2DF•EF

=0，
∴DF⊥EF，∴DF⊥AP．
（2）解：G是AD的中點(diǎn)時，GF⊥平面PCB．
證明如下：取PC中點(diǎn)H，連接DH，HF．
∵PD=DC，∴DH⊥PC．
又∵BC⊥平面PDC，∴DH⊥BC，
∵DH⊥PC，DH⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC
∴DH⊥平面PCB．                           
∵HF∥BC，且HF=

1

2

BC，∴HF

∥

.

GD，
∴四邊形DGFH為平行四邊形，DH∥GF，
∴GF⊥平面PCB．

點(diǎn)評：熟練掌握利用三角形的中位線定理及余弦定理求異面直線所成的角、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．