Question

已知一條拋物線(xiàn)和一個(gè)橢圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2），它們?cè)趚軸上具有相同的焦點(diǎn)F₁，且兩者的對(duì)稱(chēng)軸都是坐標(biāo)軸，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的方程和橢圓方程；
（2）假設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是F₂，經(jīng)過(guò)F₂的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于P，Q兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足

F2P

=m

F2Q

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)拋物線(xiàn)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用拋物線(xiàn)和一個(gè)橢圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2），它們?cè)趚軸上具有相同的焦點(diǎn)F₁，即可求得拋物線(xiàn)的方程和橢圓方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為y=k（x+1），聯(lián)立方程得

y=k(x+1) y2=4x

，消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，根據(jù)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn)，確定k的范圍，利用

F2P

=m

F2Q

，可得

1

m

+m=

4

k2

-2，利用k的范圍，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=2px（p＞0），
把M（1，2）點(diǎn)代入方程得：拋物線(xiàn)方程為y²=4x…（2分）
所以F₁（1，0），
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，橢圓的焦點(diǎn)F₁（1，0），
∴

a2-b2=1 1 a2 + 4 b2 =1

∴a2=3+2

2

，b2=2+2

2

，
∴橢圓方程為

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1…（6分）
（2）橢圓的焦點(diǎn)F₁（1，0），另一個(gè)焦點(diǎn)為F₂（-1，0），
設(shè)直線(xiàn)的方程為y=k（x+1），聯(lián)立方程得

y=k(x+1) y2=4x

，
消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
因?yàn)橹本�(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn)，所以

k≠0 (2k2-4)2-4k2＞0

，解得-1＜k＜1且k≠0…（9分）
設(shè)P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），則

x1+x2= 4-2k2 k2 x1•x2=1

，
由

F2P

=m

F2Q

得（x₁+1，y₁）=m（x₂+1，y₂），所以

x1+1=m(x2+1) y1=my2

，
∵P、Q為不同的兩點(diǎn)，∴m≠1，y12=m2y22，
即4x1=m2•4x2，∴x1=m2x2
解得x2=

1

m

，x1=m，
∴x1+x2=

1

m

+m…（12分）
即

1

m

+m=

4

k2

-2，
∵0＜k²＜1，
∴

4

k2

-2＞2，即

1

m

+m＞2
∴m＞0且m≠1…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查拋物線(xiàn)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定k的范圍，找出k，m的關(guān)系，綜合性強(qiáng)