Question

設(shè)e1．e2分別為具有公共焦點(diǎn)F₁與F₂的橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率，P為兩曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿(mǎn)足

.

PF1

•

.

PF2

=0，則

1

e 2 1

+

1

e 2 2

的值為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、1
• C、2
• D、4

Answer 1

分析：橢圓的長(zhǎng)半軸是a1，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸是a2，它們的半焦距是c并設(shè)PF₁=m，PF₂=n，m＞n，根據(jù)橢圓的和雙曲線(xiàn)的定義可得m+n=2a1，m-n=2a2，寫(xiě)出兩個(gè)曲線(xiàn)的離心率，代入要求的式子得到結(jié)果．

解答：解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸是a1，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸是a2，它們的半焦距是c
并設(shè)PF₁=m，PF₂=n，m＞n，根據(jù)橢圓的和雙曲線(xiàn)的定義可得
m+n=2a1
m-n=2a2
解得
m=a1+a2，n=a1-a2
又PF1⊥PF2，由勾股定理得
PF₁²+PF₂²=F₁F₂²
（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²
化簡(jiǎn)可得
a₁²+a₂²=2c²

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=2
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線(xiàn)的共同特征，本題解題的關(guān)鍵是得到兩個(gè)曲線(xiàn)的參數(shù)之間的關(guān)系，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．