Question

已知點(diǎn)A（-3，0）和圓O：x²+y²=9，AB是圓O的直徑，M和N是AB的三等分點(diǎn)，P（異于A，B）是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AB于D，，直線PA與BE交于C，則當(dāng)λ=________時(shí)，|CM|+|CN|為定值．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則點(diǎn)E（x₀，），用點(diǎn)斜式求出PA、BE的方程，聯(lián)立方程組求得點(diǎn)C滿足的關(guān)系式，為 +=1，故點(diǎn)C在以AB為長軸的橢圓上，當(dāng)M、N為此橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，|CM|+|CN|為定值2a=6．再根據(jù) a²-b²=c² 可得λ的值．
解答：由題意可得B（3，0），M（-1，0）、N（1，0），設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則點(diǎn)E（x₀，）．
故PA的方程為 y=•（x+3）…①，BE的方程為 y=（x-3）…②．
由①②聯(lián)立方程組可得 y²= （x-9）．
把=9- 代入化簡(jiǎn)可得 +=1，故點(diǎn)C在以AB為長軸的橢圓上，當(dāng)M、N為此橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，
|CM|+|CN|為定值2a=6．
此時(shí)，a=3，c=1，b=，由 a²-b²=c² 可得 9-=1，求得λ=，
故答案為 ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，橢圓的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題．