Question

設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ccosB+

3

bsinC=a．
（1）求角C的大��；
（2）若c=1，求a²+b²的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由條件利用正弦定理可得 sinCcosB+

3

sinBsinC=sinA，化簡可得

3

sinBsinC=sinBcosC．求得tanC的值，可得C的值．
（2）再由余弦定理可得c²=1=a²+b²-

3

ab≥

2- 3

2

（a²+b²），可得a²+b²≤4+2

3

．由三角形任意兩邊之和大于第三邊以及基本不等式求得a²+b²＞

1

2

，從而求得a²+b²的取值范圍．

解答： 解：（1）銳角△ABC中，∵ccosB+

3

bsinC=a，
∴由正弦定理可得：sinCcosB+

3

sinBsinC=sinA，
即sinCcosB+

3

sinBsinC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
即

3

sinBsinC=sinBcosC．
∵sinB≠0，∴tanC=

3

3

，C=

π

6

．
（2）∵a²+b²≥2ab，∴ab≤

a2+b2

2

，∴-

3

ab≥-

3

2

（a²+b²）．
再由余弦定理可得c²=1=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²-

3

ab≥

2- 3

2

（a²+b²），
∴a²+b²≤

2

2- 3

=

2(2+ 3 )

(2- 3 )(2+ 3 )

=4+2

3

．
由三角形任意兩邊之和大于第三邊，可得a+b＞c=1，
平方可得a²+b²+2ab＞1，∴2（a²+b²）＞1，∴a²+b²＞

1

2

．
綜上可得，a²+b² ∈（

1

2

，4+2

3

]．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．