Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸，且與圓x²＋y²＝4相交的公共弦長等于2，求這條拋物線的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：設所求拋物線方程為y2＝2px或y2＝－2px， 　　設交點A(x1，y1)、B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)， 　　則|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2， 　　由對稱性，知y2＝－y1，代入上式得y1＝， 　　把y1＝代入x2＋y2＝4得x＝±1． 　　∴點C(1，)在拋物線y2＝2px上，點C′(－1，)在拋物線y2＝－2px上． 　　∴3＝2p或3＝－2p×(－1)． 　　∴p＝． 　　∴所求拋物線方程為y2＝3x或y2＝－3x． 　　解析：因為圓和拋物線都關于x軸對稱，所以它們的交點也關于x軸對稱，即公共弦被x軸垂直平分，于是由弦長等于2，可知交點縱坐標為±．

提示：

因為拋物線是軸對稱圖形，所以與對稱軸垂直的弦一定被對稱軸平分．