Question

已知函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)0≤x≤2時，f（x）=（x-1）²，②?x∈[0，8]，f（x-

1

2

）=f（x+

3

2

）．若方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有偶數(shù)個根，則正數(shù)M的取值范圍是（　�。�

• A、0＜M≤

  1

  3

• B、0＜M≤

  1

  3

  或M=1或2
• C、0＜M≤

  1

  3

  或M=1或

  1

  2

• D、0＜M≤

  1

  3

  或M=1或

  1

  2

  或log₆2

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）和y=Mlog₂x的圖象交點(diǎn)個數(shù)，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上根的個數(shù)，結(jié)合已知分析函數(shù)f（x）的圖象和性質(zhì)，分類討論并數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答： 解：∵?x∈[0，8]，f（x-

1

2

）=f（x+

3

2

）．
∴?x∈[0，8]，f（x）=f（x+2），即在[0，8]上函數(shù)以2為周期，呈周期性變化，
由當(dāng)0≤x≤2時，f（x）=（x-1）²，可得：
函數(shù)f（x）在[0，8]上圖象如下圖所示：

當(dāng)0＜M≤

1

3

時，函數(shù)f（x）和y=Mlog₂x的圖象如下圖所示：

此時兩個函數(shù)圖象共有8個交點(diǎn)，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有8個根，滿足條件；
同理：
當(dāng)

1

3

＜M＜log₆2時，函數(shù)f（x）和y=Mlog₂x的圖象有7個交點(diǎn)，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有7個根，不滿足條件；
當(dāng)M=log₆2時，函數(shù)f（x）和y=Mlog₂x的圖象有6個交點(diǎn)，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有6個根，滿足條件；
當(dāng)log₆2＜M＜

1

2

時，函數(shù)f（x）和y=Mlog₂x的圖象有5個交點(diǎn)，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有5個根，不滿足條件；
當(dāng)M=

1

2

時，函數(shù)f（x）和y=Mlog₂x的圖象有4個交點(diǎn)，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有4個根，滿足條件；
當(dāng)

1

2

＜M＜1時，函數(shù)f（x）和y=Mlog₂x的圖象有3個交點(diǎn)，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有3個根，不滿足條件；
當(dāng)M=1時，函數(shù)f（x）和y=Mlog₂x的圖象有2個交點(diǎn)，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有2個根，滿足條件；
當(dāng)M＞1時，函數(shù)f（x）和y=Mlog₂x的圖象有1個交點(diǎn)，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有1個根，不滿足條件；
綜上，滿足條件的正數(shù)M的取值范圍是0＜M≤

1

3

或M=1或

1

2

或log₆2，
故選：D

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，函數(shù)的周期性，函數(shù)的伸縮變換，是函數(shù)圖象與性質(zhì)是綜合應(yīng)用，屬于難題．