Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中點(diǎn)．
（1）證明：CD⊥平面POC；
（2）求三棱錐O-PCD的高．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用側(cè)面PAB⊥底面ABCD，可證PO⊥底面ABCD，從而可證PO⊥CD，利用勾股定理，可證OC⊥CD，從而利用線面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；
（2）利用等積法求三棱錐的高．

解答： 證明：（1）∵PA=PB=，O為AB中點(diǎn)，
∴PO⊥AB
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PO?側(cè)面PAB，側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB，
∴PO⊥底面ABCD
∵CD?底面ABCD，∴PO⊥CD
在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=2
在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=1
在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=8
∴OC²+CD²=OD²，
∴△ODC是以∠OCD為直角的直角三角形，
∴OC⊥CD
∵OC，OP是平面POC內(nèi)的兩條相交直線
∴CD⊥平面POC…（6分）
（2）設(shè)三棱錐O-PCD的高為h，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中點(diǎn)．
所以PO⊥平面ABCD，PO=2

2

，OC=

2

，OD=

10

，PC=

10

，
由（1）得OC⊥CD，CD⊥PC，所以CD=2

2

，
由V_P-OCD=V_O-PCD得

1

3

×S△OCD×PO=

1

3

×S△PCDh，所以

1

3

×

1

2

×OC×OD×OP=

1

3

×

1

2

×PC×CDh，即

2

×

10

×2

2

=

10

×2

2

h，解得h=

2

；
所以三棱錐O-PCD的高

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用以及利用等積法球三棱錐的高，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．