Question

已知過函數(shù)f（x）=x³+ax²+1的圖象上一點B（1，b）的切線的斜率為-3．
（1）求a、b的值；
（2）求A的取值范圍，使不等式f（x）≤A-1987對于x∈[-1，4]恒成立；
（3）令g（x）=-f（x）-3x²+tx+1．是否存在一個實數(shù)t，使得當x∈（0，1]時，g（x）有最大值1？

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，利用在點B（1，b）的切線的斜率為-3列式求出a的值，再把點B的坐標代入函數(shù)解析式求a的值；
（2）求出導函數(shù)的零點，由零點對定義域分段，利用單調性求出函數(shù)f（x）在x∈[-1，4]上的最值，由最大值小于等于A-1987求解A的值；
（3）把f（x）代入g（x）的解析式，求出導函數(shù)，利用t與3的關系分析函數(shù)g（x）的單調區(qū)間，然后利用單調性求最值．

解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+1，得f′（x）=3x²+2ax，
依題意得k=f′（1）=3+2a=-3，∴a=-3，
∴f（x）=x³-3x²+1，把B（1，b）代入得：b=f（1）=-1，
∴a=-3，b=-1；
（2）令f′（x）=3x²-6x=0，得x=0或x=2．
∵f（0）=1，f（2）=2³-3×2²+1=-3，
f（-1）=-3，f（4）=17，
∴當x∈[-1，4]時，-3≤f（x）≤17．
要使f（x）≤A-1987對于x∈[-1，4]恒成立，則f（x）的最大值17≤A-1987，
∴A≥2004；
（3）已知g（x）=-（x³-3x²+1）-3x²+tx+1=-x³+tx，
∴g′（x）=-3x²+t，
∵0＜x≤1，∴-3≤-3x²＜0．
①當t＞3時，t-3x²＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1]上為增函數(shù)．
g（x）的最大值g（1）=t-1=1，得t=2（不合題意，舍去）．
②當0≤t≤3時，g′（x）=-3x²+t，
令g′（x）=0，得x=

t 3

．
列表如下：

x	（0， t 3 ）	t 3	( t 3 ，1]
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

g（x）在x=

t 3

處取最大值：-(

t 3

)3+t

t 3

=1．
∴t=

3	27 4

=

3 3 2

2

＜

t 3

≤3
∴x=

t 3

＜1．
③當t＜0時，g′（x）=-3x²+t＜0，∴g（x）在（0，1]上為減函數(shù)，
∴g（x）在（0，1]上為增函數(shù)，
綜上，存在一個t=

3 3 2

2

，使g（x）在（0，1]上有最大值1．

點評：本題考查了利用導數(shù)求曲線上過某點的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，考查了數(shù)學轉化思想方法和分類討論的數(shù)學思想方法，關鍵是掌握不等式恒成立時所取的條件．是中檔題．