Question

已知集合A={x∈R|mx²-2x+1=0}，在下列條件下分別求實數(shù)m的取值范圍：
（Ⅰ）A=∅；
（Ⅱ）A恰有兩個子集；
（Ⅲ）A∩（

1

2

，2）≠∅

Answer 1

分析：（Ⅰ）若A=∅，則關(guān)于x的方程mx²-2x+1=0 沒有實數(shù)解，則m≠0，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）若A恰有兩個子集，則A為單元素集，所以關(guān)于x的方程mx²-2x+1=0 恰有一個實數(shù)解，分類討論能求出實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）若A∩（

1

2

，2）≠∅，則關(guān)于x的方程mx²=2x-1在區(qū)間（

1

2

，2）內(nèi)有解，這等價于當(dāng)x∈（

1

2

，2）時，求值域：m=

2

x

-

1

x2

=1-（

1

x

-1）²，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）若A=∅，則關(guān)于x的方程mx²-2x+1=0 沒有實數(shù)解，則m≠0，
且△=4-4m＜0，所以m＞1； （3分）
（Ⅱ）若A恰有兩個子集，則A為單元素集，所以關(guān)于x的方程mx²-2x+1=0 恰有一個實數(shù)解，
討論：①當(dāng)m=0時，x=

1

2

，滿足題意；
②當(dāng)m≠0時，△=4-4m，所以m=1．
綜上所述，m的集合為{0，1}．（3分）
（Ⅲ）若A∩（

1

2

，2）≠∅則關(guān)于x的方程mx²=2x-1在區(qū)間（

1

2

，2）內(nèi)有解，
這等價于當(dāng)x∈（

1

2

，2）時，求值域：m=

2

x

-

1

x2

=1-（

1

x

-1）²
∴m∈（0，1]（5分）

點評：本題考查實數(shù)m的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分析法、討論法和等價轉(zhuǎn)化法的合理運(yùn)用．