已知f（x）=（x2+1）（x+a）
（1）當x∈（0，+∞）時，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于1，求a的取值范圍．
（2）若y=f（x）在x∈（0，+∞）上有極值點，求a的取值范圍．
分析：（1）問題等價于f′（x）＞1在x∈（0，+∞）上恒成立，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決；
（2）函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上有極值點，即y=f′（x）在（0，+∞）上有零點，且零點兩側(cè)異號，由f′（0）=1＞0知：f′（x）在（0，+∞）上必有兩個零點，由此得一不等式組，解出即可．
解答：解：（1）x∈（0，+∞）時，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于1，
等價于f′（x）＞1在x∈（0，+∞）上恒成立，即3x2+2ax+1＞1，也即3x+2a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
所以3×0+2a≥0，解得a≥0，
故實數(shù)a 的取值范圍為[0，+∞）．
（2）f′（x）=3x2+2ax+1，易知f′（0）=1＞0，
要使f（x）在x∈（0，+∞）上有極值點，只需y=f′（x）在（0，+∞）上有兩個零點即可，
所以有
-
1
3
a＞0
△=4a2-4×3＞0
，解得a＜-
3
．
故a的取值范圍為：（-∞，-
3
）．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學生運用所學知識分析問題解決問題的轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

12、已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x）（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=lg（x2-mx+2m-1），m∈R
（Ⅰ）當m=0時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的值域是[lg2，+∞），求m的值；
（Ⅲ）若x∈[0，1]時不等式f（x）＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=2sin（
x
2
+
π
6
）-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間．
（2）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)f（x）=sin
x
2
（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=
3+x
1+x2
，0≤x≤3
f(3)  ，x＞3
，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關于x的方程f（x）-a=0恰有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（
1
2
）x-m，若任取x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），則m的取值范圍
[
1
4
，+∞）
[
1
4
，+∞）
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案