Question

1-

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

-…+(-1)n

1

n+1

C

n n

=

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)組合數(shù)公式，可得

1

m

C_n^m-1=

1

n+1

C_n+1^m，進(jìn)而結(jié)合題意，有則1=

1

n+1

C_n+1¹，

1

2

C_n¹=C_n+1²，…，

1

n+1

C_nⁿ=

1

n+1

C_n+1ⁿ⁺¹，再結(jié)合二項(xiàng)式定理，原式可變形為-

1

n+1

[（-1）¹C_n+1¹+（-1）²C_n+1²+（-1）³C_n+1³+…+（-1）ⁿ⁺¹C_n+1ⁿ⁺¹]
即-

1

n+1

[（1-1）ⁿ-1]，進(jìn)而可得答案．

解答：解：

1

m

C_n^m-1=

1

m

n!

(m-1)!•(n-m+1)!

=

1

n+1

(n+1)!

m!•(n-m+1)!

=

1

n+1

C_n+1^m，
則1=

1

n+1

C_n+1¹，

1

2

C_n¹=C_n+1²，…，

1

n+1

C_nⁿ=

1

n+1

C_n+1ⁿ⁺¹，
則1-

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

-…+(-1)n

1

n+1

C

n n

=

1

n+1

[（-1）⁰C_n+1¹+（-1）¹C_n+1¹+（-1）²C_n+1³+…+（-1）ⁿC_n+1ⁿ⁺¹]
=-

1

n+1

[（-1）¹C_n+1¹+（-1）²C_n+1²+（-1）³C_n+1³+…+（-1）ⁿ⁺¹C_n+1ⁿ⁺¹]
=-

1

n+1

[（1-1）ⁿ-1]
=

1

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查組合數(shù)公式的性質(zhì)與二項(xiàng)式定理，解題時(shí)注意先根據(jù)組合數(shù)公式變形，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)式定理，整理可得答案．