Question

三角形中位線是三角形中的重要線段，它的性質可以為許多問題的證明和求解提供依據，在幾何中有著舉足輕重的地位，那么如何證明三角形中位線定理呢？

Answer 1

思路:連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，這里要明確三角形的中位線和三角形的中線不同(如圖1-1-9).三角形中位線定理的內容是:三角形中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

圖1-1-9

探究:證明:如圖1-1-9，DE是中位線，E是AC的中點，

過點D作DE′∥BC，則E′也是AC的中點，所以E與E′重合，DE′與DE重合.

所以DE∥BC.

同理，過點D作DF∥AC，交BC于F，則BF=FC.

因為DE∥FC，DF∥EC，所以四邊形DFCE是平行四邊形.

所以DE=FC.

又因為FC=BC，所以DE=BC.

上述過程中，DE′與DE重合是定理證明的關鍵一步，本推理過程中應用了同一法思想.

該定理的證明，關鍵在于添加輔助線，如圖1-1-10所示的幾種輔助線代表幾種不同的證法.

（1）(1)延長中位線DE到F,使EF=DE.

（2）(2)延長中位線DE到F,使EF=DE得ADCF.

(3)作CF∥AB與DE的延長線交于點F.

圖1-1-10

    三角形中位線定理是三角形的一個重要的性質定理，其特點是:同一題設，兩個結論.一個結論是表明位置關系的，另一個結論是表明數量關系的，在應用時不一定同時需要兩個關系，有時需要平行關系，有時要求倍分關系，可由具體情況按需選用.事實上，平行線等分線段定理的推論1:經過三角形一邊中點與另一邊平行的直線平分第三邊，即三角形中位線判定定理.