Question

7．己知函數(shù)f（x）=x³+2x²f'（1）+2，函數(shù)f（x）在點（2，f（2））的切線的傾斜角為α，則sin²（π+α）-sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{3π}{2}$-α）的值為（　�。�

• A． $\frac{9}{17}$
• B． $\frac{20}{17}$
• C． $\frac{3}{16}$
• D． $\frac{21}{19}$

Answer 1

分析 對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令x=1求出f′（1）的值，再求出f′（2）的值即為tanα，利用誘導(dǎo)公式化簡sin²（π+α）-sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{3π}{2}$-α），弦化切求值即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³+2x²f'（1）+2，
∴f′（x）=3x²+4xf′（1），
∴f′（1）=3+4f′（1），
解得f′（1）=-1，
∴f（x）=x³-2x²+2，
∴f′（2）=3×2²-4×2=4，
函數(shù)f（x）在點（2，f（2））的切線的斜率為tanα=4，
∴sin²（π+α）-sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{3π}{2}$-α）=sin²α-cosα•（-sinα）
=$\frac{{sin}^{2}α+sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$
=$\frac{{tan}^{2}α+tanα}{{tan}^{2}α+1}$
=$\frac{{4}^{2}+4}{{4}^{2}+1}$
=$\frac{20}{17}$．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)求值問題，是綜合性題目．