如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AB=2,E是PB的中點,F(xiàn)是AD的中點.
(Ⅰ)求證:EF⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角F-PC-B的平面角的余弦值.
(Ⅰ)見解析
(Ⅱ)
【解析】(I)根據(jù)線面垂直的判定定理,只須證明,
從而證明出
平面
,然后證明出GD//EF,問題到此基本得以解決.
(II)關(guān)鍵是作出二面角的平面角,連結(jié),易證:
,
,所以
是二面角
的平面角,然后解三角形求角即可
(Ⅰ)取的中點
,連結(jié)
,
則
//
,且
,
又∵//
,且
,∴
//
且
,∴四邊形
為平行四邊形,∴
//
.………………………
3分
由于平面
,∴
,又
,∴
平面
,又
平面
,∴
,在等腰直角三角形
中,由
為
中點,∴
,
,∴
平面
, ……………………………………………… 5分
∵//
,∴
平面
. ………………………………………………… 6分
(Ⅱ)連結(jié),∵
,
//
,∴
,
∵
平面
,∴
,
,∴
平面
,
, ∴
是二面角
的平面角.…………… 9分
在中,
,
,
,所以二面角
的平面角的余弦值為
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