Question

若log_a6•log₆7•log₇8=-3，設函數(shù)f（x）=-a^2x+4a^x+5
（1）求a的值；
（2）當x≥-2時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）當x∈R時，求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

（1）∵log_a6•log₆7•log₇8=-3，∴

lg6

lga

×

lg7

lg6

×

lg8

lg7

=-3，∴

lg23

lga

=-3．，∴l(xiāng)ga=-lg2，∴a=2-1=

1

2

；
（2）∵a=

1

2

，可設(

1

2

)x=t，又x≥-2，∴0＜t≤(

1

2

)-2=4．
從而函數(shù)f（x）=-a^2x+4a^x+5可化為f（t）=-t²+4t+5=-（t-2）²+9，t∈（0，4]．
可知f（t）在（0，2]上單調遞增，∴5＜f（t）≤9；
在[2，4]上單調遞減，∴5≤f（t）≤9；
∴f（t）的值域為[5，9]．
即函數(shù)f（x）的值域為[5，9]．
（3）當x∈（-∞，-1]時，t=(

1

2

)x單調遞減且值域為[2，+∞），
而函數(shù)f（t）=-（t-2）²+9在t∈[2，+∞）上單調遞減，
故函數(shù)f（x）在x∈（-∞，-1]上單調遞增，
因此函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1]．