Question

已知函數f（x）=e^x-1-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）試探究函數F（x）=f（x）-xlnx在定義域內是否存在零點，若存在，請指出有幾個零點；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，且f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）直接對f（x）求導，討論a≤0和a＞0時，f′（x）=e^x-a的正負即可確定函數f（x）單調區(qū)間；
（Ⅱ）對F（x）=f（x）-xlnx進行化簡，構造函數h（x）=

ex-1

x

-lnx，x＞0，研究函數h（x）的單調性和最小值，從而畫出h（x）的簡圖，即可確定F（x）=f（x）-xlnx在定義域內是否存在零點；
（Ⅲ）構造函數H（x）=xe^x-e^x+1，（x＞0），求其導數，利用導數研究函數H（x）的單調性，從而確定H（x）的最值，可得到H（x）＞H（0）=0，然后討論a的取值即可確定實數a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-1-ax，（x∈R，a∈R），
∴f′（x）=e^x-a，
①當a≤0時，則?x∈R有f′（x）＞0，
∴函數f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）單調遞增；
②當a＞0時，f′（x）＞0⇒x＞lna，f′（x）＜0⇒x＜lna
∴函數f（x）的單調增區(qū)間為（lna，+∞），單調減區(qū)間為（-∞，lna）．
綜合①②的當a≤0時，函數f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當a＞0時，函數f（x）的單調增區(qū)間為（lna，+∞），單調減區(qū)間為（-∞，lna）．
（Ⅱ）函數F（x）=f（x）-xlnx定義域為（0，+∞），
又F(x)=0⇒a=

ex-1

x

-lnx，x＞0，
令h（x）=

ex-1

x

-lnx，x＞0，
則h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，x＞0，
∴h′（x）＞0⇒x＞1，
h′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函數h（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
∴h（x）≥h（1）=e-1
由（1）知當a=1時，對?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，
即ex-1＞x?

ex-1

x

＞1
∴當x＞0且x趨向0時，h（x）趨向+∞
隨著x＞0的增長，y=e^x-1的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y=x²的增長速度，而y=lnx的增長速度則會越來越慢．
故當x＞0且x趨向+∞時，h（x）趨向+∞．得到函數h（x）的草圖如圖所示
故①當a＞e-1時，函數F（x）有兩個不同的零點；
②當a=e-1時，函數F（x）有且僅有一個零點；
③當a＜e-1時，函數F（x）無零點；
（Ⅲ）由（2）知當x＞0時，e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0，
先分析法證明：?x＞0，g（x）＜x
要證?x＞0，g（x）＜x
只需證?x＞0，

ex-1

x

＜ex
即證?x＞0，xe^x-e^x+1＞0
構造函數H（x）=xe^x-e^x+1，（x＞0）
∴H′（x）=xe^x＞0，?x＞0
故函數H（x）=xe^x-e^x+1在（0，+∞）單調遞增，
∴H（x）＞H（0）=0，
則?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立．
①當a≤1時，由（1）知，函數f（x）在（0，+∞）單調遞增，
則f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立． 
②當a＞1時，由（1）知，函數f（x）在（lna，+∞）單調遞增，在（0，lna）單調遞減，
故當0＜x＜lna時，0＜g（x）＜x＜lna，
∴f（g（x））＞f（x），則不滿足題意．
綜合①②得，滿足題意的實數a的取值范圍（-∞，1]．

點評：本題以函數為載體，主要考查導數的幾何意義，考查導數在研究函數的單調性和最值中的應用，考查恒成立問題的解決方法，屬于難題．