橢圓
的離心率為
,且經(jīng)過點
過坐標原點的直線
與
均不在坐標軸上,
與橢圓M交于A、C兩點,直線
與橢圓M交于B、D兩點
(1)求橢圓M的方程;
(2)若平行四邊形ABCD為菱形,求菱形ABCD的面積的最小值
(1)
;(2)詳見解析;(3)最小值為
試題分析:(1)依題意有
,再加上
,解此方程組即可得
的值,從而得故橢圓
的方程(2)由于四邊形ABCD是平行四邊形,所以ABCD的對角線AC和BD的中點重合
利用(1)所得橢圓方程,聯(lián)立方程組
消去
得:
,顯然點A、C的橫坐標是這個方程的兩個根,由此可得線段
的中點為
同理可得線段
的中點為
,由于中點重合,所以
解得,
或
(舍)這說明
和
都過原點即相交于原點
(3)由于對角線過原點且該四邊形為菱形,所以其面積為
由方程組
易得點A的坐標(用
表示),從而得
(用
表示);同理可得
(由于
,故仍可用
表示)這樣就可將
表示為
的函數(shù),從而求得其最小值
試題解析:(1)依題意有
,又因為
,所以得
故橢圓
的方程為
3分
(2)依題意,點
滿足
所以
是方程
的兩個根
得
所以線段
的中點為
同理,所以線段
的中點為
5分
因為四邊形
是平行四邊形,所以
解得,
或
(舍)
即平行四邊形
的對角線
和
相交于原點
7分
(3)點
滿足
所以
是方程
的兩個根,即
故
同理,
9分
又因為
,所以
,其中
從而菱形
的面積
為
,
整理得
,其中
10分
故,當
或
時,菱形
的面積最小,該最小值為
12分
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓C:
(a>b>0),過點(0,1),且離心率為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)A,B為橢圓C的左右頂點,直線
l:
x=2
與
x軸交于點D,點P是橢圓C上異于A,B的動點,直線AP,BP分別交直線
l于E,F(xiàn)兩點.證明:當點P在橢圓C上運動時,
恒為定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知常數(shù)
,向量
,經(jīng)過定點
以
為方向向量的直線與經(jīng)過定點
以
為方向向量的直線相交于
,其中
,
(1)求點
的軌跡
的方程;(2)若
,過
的直線交曲線
于
兩點,求
的取值范圍。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
:
的離心率為
,右焦點
到直線
的距離為
.
(1)求橢圓
的方程;
(2)過橢圓右焦點F
2斜率為
(
)的直線
與橢圓
相交于
兩點,
為橢圓的右頂點,直線
分別交直線
于點
,線段
的中點為
,記直線
的斜率為
,求證:
為定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知中心在原點,焦點在坐標軸上的雙曲線
經(jīng)過
、
兩點
(1)求雙曲線
的方程;
(2)設(shè)直線
交雙曲線
于
、
兩點,且線段
被圓
:
三等分,求實數(shù)
、
的值
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,
F1、
F2分別是橢圓
C:
=1(
a>
b>0)的左、右焦點,
A是橢圓
C的頂點,
B是直線
AF2與橢圓
C的另一個交點,∠
F1AF2=60°.
(1)求橢圓
C的離心率;
(2)已知△
AF1B的面積為40
,求
a,
b的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
E:
=1(
a>
b>0),
F1(-
c,0),
F2(
c,0)為橢圓的兩個焦點,
M為橢圓上任意一點,且|
MF1|,|
F1F2|,|
MF2|構(gòu)成等差數(shù)列,點
F2(
c,0)到直線
l:
x=
的距離為3.
(1)求橢圓
E的方程;
(2)若存在以原點為圓心的圓,使該圓的任意一條切線與橢圓
E恒有兩個交點
A,
B,且
⊥
,求出該圓的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)橢圓
的左、右焦點分別為
是
上的點
,
,則橢圓
的離心率為( )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知雙曲線
x2-
=1.
(1)若一橢圓與該雙曲線共焦點,且有一交點
P(2,3),求橢圓方程.
(2)設(shè)(1)中橢圓的左、右頂點分別為
A、
B,右焦點為
F,直線
l為橢圓的右準線,
N為
l上的一動點,且在
x軸上方,直線
AN與橢圓交于點
M.若
AM=
MN,求∠
AMB的余弦值;
(3)設(shè)過
A、
F、
N三點的圓與
y軸交于
P、
Q兩點,當線段
PQ的中點為(0,9)時,求這個圓的方程.
查看答案和解析>>