Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+

a

x-1

在(0，

1

e

)內(nèi)有極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），求證：f(x2)-f(x1)＞e+2-

1

e

．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f(x)=lnx+

a

x-1

在(0，

1

e

)內(nèi)有極值，可得f′（x）=0在(0，

1

e

)內(nèi)有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）根據(jù)αβ=1，可設(shè)0＜α＜

1

e

，則β＞e，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而由x₁∈（0，1），可得f(x1)≤f(α)=lnα+

a

α-1

；由x₂∈（1，+∞），可得f(x2)≥f(β)=lnβ+

a

β-1

，所以f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α），又f(β)-f(α )=2lnβ+a×

α-β

(β-1)(α-1)

=2lnβ+β -

1

β

．記h(β)=2lnβ+β -

1

β

(β＞e)，可得h（β）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，從而問(wèn)題得證．

解答：（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

1

x

-

a

(x-1)2

=

x2-(a+2)x+1

x(x-1)2

∵函數(shù)f(x)=lnx+

a

x-1

在(0，

1

e

)內(nèi)有極值
∴f′（x）=0在(0，

1

e

)內(nèi)有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨設(shè)0＜α＜

1

e

，則β＞e
∵g（0）=1＞0，
∴g(

1

e

)=

1

e2

-

a+2

e

+1＜0，
∴a＞e+

1

e

-2
（2）證明：由f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴f（x）在（0，α）內(nèi)遞增，在（α，1）內(nèi)遞減，在（1，β）內(nèi)遞減，在（β，+∞）遞增
由x₁∈（0，1），可得f(x1)≤f(α)=lnα+

a

α-1

由x₂∈（1，+∞），可得f(x2)≥f(β)=lnβ+

a

β-1

∴f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）
∵αβ=1，α+β=a+2
∴f(β)-f(α )=2lnβ+a×

α-β

(β-1)(α-1)

=2lnβ+a×

1 β -β

2-(a+2)

=2lnβ+β -

1

β

記h(β)=2lnβ+β -

1

β

(β＞e)
則h′（β）=

2

β

+1+

1

β2

＞0，h（β）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
∴h(β)＞h(e)=e+2-

1

e

∴f(x2)-f(x1)＞e+2-

1

e

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查不等式的證明，綜合性比較強(qiáng)．