Question

已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m≠0），函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處切線與x軸平行，
（1）用關(guān)于m的代數(shù)式表示n；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若x₁＞2，記函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)M（x₁，f（x₁））處的切線l與x軸的交點(diǎn)為（x₂，0），證明：x₂≥3．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由切線與x軸平行，得到切線斜率為0，故把x=2代入導(dǎo)函數(shù)求出的導(dǎo)函數(shù)值為0，列出關(guān)于m與n的關(guān)系式，用關(guān)于m的代數(shù)式表示出n即可；
（2）把（1）表示出的n代入f（x）和導(dǎo)函數(shù)中，令導(dǎo)函數(shù)大于0，分m大于0和小于0兩種情況考慮，分別求出不等式的解集即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）把x=x₁代入（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，表示出切線l的斜率，代入f（x）求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，確定出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出切線l的方程，然后令y=0表示出x₂，利用作差法，根據(jù)x₁＞2，及完全平方式大于等于0得到x₂-3大于等于0，變形即可得證．

解答：解：（1）∵f（x）=m³x+nx²，
∴f′（x）=3mx²+2nx．
由題意得：f′（2）=0，即3m+n=0，
∴n=-3m；（4分）
（2）∵n=-3m，
∴f（x）=mx³-3mx²，f′（x）=3mx²-6mx，
令f′（x）＞0，
得3mx²-6mx＞0，
當(dāng)m＞0時(shí)，∴x＜0或x＞2，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞），
當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2）；（8分）
（3）由（1）得：f（x）=mx³-3mx²，f′（x）=3mx²-6mx，
l：y-（mx₁³-3mx₁²）=（3mx₁²-6mx₁）（x-x₁），
令y=0，由m≠0，x₁＞2，則x2=

2 x 2 1 -3x1

3(x1-2)

，
所以x2-3=

2 x 2 1 -3x1

3(x1-2)

-3=

2 x 2 1 -12x1+18

3(x1-2)

=

2(x1-3)2

3(x1-2)

，
∵x₁＞2．（x₁-3）²≥0，
∴x₂-3≥0，即x₂≥3．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．要求學(xué)生掌握切點(diǎn)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)值為切線方程的斜率，導(dǎo)函數(shù)值大于0時(shí)x的范圍為函數(shù)的遞增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)值小于0時(shí)x的范圍為函數(shù)的遞減區(qū)間，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．