Question

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A₁（-a，0），A₂（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上A₁、A₂兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線．
（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)m=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線為C₁；對(duì)給定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），對(duì)應(yīng)的曲線為C₂，設(shè)F₁、F₂是C₂的兩個(gè)焦點(diǎn)．試問：在C₁上，是否存在點(diǎn)N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為（x，y），求出直線A₁、MA₂M的斜率，并且求出它們的積，即可求出點(diǎn)M軌跡方程，根據(jù)圓、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，對(duì)m進(jìn)行討論，確定曲線的形狀；（Ⅱ）由（I）知，當(dāng)m=-1時(shí)，C₁方程為x²+y²=a²，當(dāng)m∈（-1，0）∪（0，+∞）時(shí)，C₂的焦點(diǎn)分別為F₁（-a，0），F(xiàn)₂（a，0），假設(shè)在C₁上存在點(diǎn)N（x，y）（y≠0），使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²，的充要條件為，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用數(shù)量積和三角形面積公式可以求得tanF₁NF₂的值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為（x，y），
當(dāng)x≠±a時(shí)，由條件可得，
即mx²-y²=ma²（x≠±a），
又A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐標(biāo)滿足mx²-y²=ma²．
當(dāng)m＜-1時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
當(dāng)m=-1時(shí)，曲線C的方程為x²+y²=a²，C是圓心在原點(diǎn)的圓；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
當(dāng)m＞0時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；

（Ⅱ）由（I）知，當(dāng)m=-1時(shí)，C₁方程為x²+y²=a²，
當(dāng)m∈（-1，0）∪（0，+∞）時(shí)，C₂的焦點(diǎn)分別為F₁（-a，0），F(xiàn)₂（a，0），
對(duì)于給定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），C₁上存在點(diǎn)N（x，y）（y≠0），使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²，
的充要條件為
由①得0＜|y|≤a，由②得|y|=，
當(dāng)0＜≤a，即，或時(shí)，
存在點(diǎn)N，使S=|m|a²，
當(dāng)，即，或時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)N．
當(dāng)m∈[，0）∪（0，]時(shí)，由=（-a-x，-y），=（a-x，-y），
可得=x²-（1+m）a²+y²=-ma²．
令=r₁，||=r₂，∠F₁NF₂=θ，
則由=r₁r₂cosθ=-ma²，可得r₁r₂=，
從而s=r₁r₂sinθ==-，于是由S=|m|a²，
可得-=|m|a²，即tanθ=，
綜上可得：當(dāng)m∈[，0）時(shí)，在C₁上存在點(diǎn)N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²，且tanθ=2；
當(dāng)m∈（0，]時(shí)，在C₁上存在點(diǎn)N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²，且tanθ=-2；
當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)N．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理運(yùn)算的能力，以及分類與整合和數(shù)形結(jié)合的思想．其中問題（II）是一個(gè)開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．