Question

下列命題中，其正確的命題為

①②④⑤

①|x+

1

x

|的最小值是2；
②sin2α+

1

sin2α

的最小值是2；
③log₂x+log_x2的最小值是2；
④0＜x＜

π

2

，tanx+

1

tanx

的最小值是2；
⑤3^x+3^-x的最小值是2．

Answer 1

分析：利用基本不等式可得①②④⑤滿足條件；通過給變量取特殊值，舉反例可得③不滿足條件．

解答：解：由基本不等式可得，當(dāng)x=1 或x=-1時，y=|x+

1

x

|有最小值等于2，故①滿足條件；
由基本不等式，得當(dāng)sinα=±1時，y=sin2α+

1

sin2α

有最小值等于2，故②滿足條件；
當(dāng)x=

1

2

時，y=log₂x+log_x2=-1+（-1）=-2，故③不滿足條件；
由于 0＜x＜

π

2

時，tanx＞0，故 y=tanx+cotx≥2，故④滿足條件；
由基本不等式可得 y=3^x+3^-x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，故⑤滿足條件．
故答案為：①②④⑤．

點評：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式的使用條件，并注意檢驗等號成立的條件．通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．