Question

已知向量

a

=（

3

，-1），

b

=（sin2x，cos2x），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）若f（x）=0且0＜x＜π，求x的值．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間以及函數(shù)取得最大值時(shí)，向量

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積可得f（x）=

a

•

b

=

3

sin2x-cos2x，由f（x）=0可求得tan2x=

3

3

，而0＜x＜π，于是可求x的值；
（2）依題意，可求f（x）=2sin（2x-

π

6

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求其單調(diào)增區(qū)間及最大值，再利用向量的數(shù)量積可求得向量

a

與

b

的夾角．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=

3

sin2x-cos2x，
∴由f（x）=0得

3

sin2x-cos2x=0，即tan2x=

3

3

．
∵0＜x＜π，
∴0＜2x＜2π，
∴2x=

π

6

或2x=

7π

6

，
∴x=

π

12

或x=

7π

12

．
（2）∵f（x）=

3

sin2x-cos2x
=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）
=2sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．
由上可得f（x）_max=2，
當(dāng)f（x）=2時(shí)，由

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos＜

a

•

b

＞=2
得：cos＜

a

•

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=1，
∵0≤＜

a

•

b

＞≤π，
∴＜

a

•

b

＞=0，即f（x）取得最大值時(shí)，向量

a

與

b

的夾角為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．