Question

已知f（x）是R上的偶函數(shù)，若將f（x）的圖象向右平移一個單位后，則得到一個奇函數(shù)的圖象，若f（2）=-1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值為（　　）

A、-1

B、0

C、1

D、不能確定

Answer 1

分析：由于f（x）是R上的偶函數(shù)，所以該函數(shù)有對稱軸x=0，函數(shù)f（x）在右移之前有對稱中心（-1，0），故函數(shù)f（x）存在周期T=4，在利用題中的條件得到函數(shù)在一個周期內(nèi)的數(shù)值，利用周期性即可求解．

解答：解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，
∴圖象關(guān)于y軸對稱，即該函數(shù)有對稱軸x=0，f（x）=f（-x） 用x+1換x，所以f（x+1）=f（-x-1）①
又∵將f（x）的圖象向右平移一個單位后，則得到一個奇函數(shù)的圖象，
∴函數(shù)f（x）的圖象有對稱中心（-1，0），有f（-1）=0，且f（-1-x）=-f（-1+x）  ②
∴由①②得f（x+1）=-f（-1+x），可得f（x+2）=-f（x），得到f（x+4）=f（x），故函數(shù)f（x）存在周期T=4，
又f（2）=-1，f（-1）=0，
利用條件可以推得：f（-1）=f（1）=0，f（2）=-1=-f（0），f（3）=f（4-1）=0，
f（-3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=1，
所以在一個周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=f（1）+f（2）+f（3）=-1．
故選A

點(diǎn)評：此題考查了利用函數(shù)的對稱性及奇偶性找到函數(shù)的周期，在利用已知的條件求出函數(shù)值．