Question

已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓M交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求△AOB（O為原點(diǎn)）面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，可求得a=，b=1，從而可得橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依題意，直線AB有斜率，可分直線AB的斜率k=0與直線AB的斜率k≠0討論，利用弦長(zhǎng)公式，再結(jié)合基本不等式即可求得各自情況下S_△AOB的最大值．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓+=1（a＞b＞0）的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，
∴a=，b=1，橢圓M的方程為：+y²=1…4分
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因?yàn)锳B的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-），顯然直線AB有斜率，
當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，AB的垂直平分線為y軸，則x₁=-x₂，y₁=y₂，
所以S_△AOB=|2x₁||y₁|=|x₁||y₁|=|x₁|•==，
∵≤=，
∴S_△AOB≤，當(dāng)且僅不當(dāng)|x₁|=時(shí)，S_△AOB取得最大值為…7分
當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí)，則設(shè)AB的方程為y=kx+t，
所以，代入得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
當(dāng)△=4（9k²+3-3t²）＞0，即3k²+1＞t²①，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；
又x₁+x₂=，=…8分
所以=，又=-，化簡(jiǎn)得到3k²+1=4t②
代入①，得到0＜t＜4，…10分
又原點(diǎn)到直線的距離為d=，
|AB|=|x₁-x₂|=•，
所以S_△AOB=|AB||d|=••，
化簡(jiǎn)得：S_△AOB=…12分
∵0＜t＜4，所以當(dāng)t=2時(shí)，即k=±時(shí)，S_△AOB取得最大值為．
綜上，S_△AOB取得最大值為…14分
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查方程思想分類(lèi)討論思想與弦長(zhǎng)公式，基本不等式的綜合運(yùn)用，考查求解與運(yùn)算能力，屬于難題．