Question

已知函數g（x）=

1

2

mx²-2x+l+ln（x+l）（m≥1）．
（1）若曲線C：y=g（x）在點P（0，1）處的切線l與曲線C有且只有一個公共點，求m的值；
（2）求證：函數g（x）存在單凋減區(qū)間[a，b]；
（3）若c=b-a，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義求出切線的斜率，進而求出切線的方程，由切線l與曲線C有且只有一個公共點，轉化為二者的方程聯立的方程組有且只有一個解0，再利用導數即可得出；
（2）函數g（x）存在單凋減區(qū)間[a，b]?g^′（x）＜0，再由m≥1，x＞-1，利用二次函數的性質即可證明；
（3）利用（2）的結論及一元二次方程的根與系數的關系及不等式的性質即可求出．

解答：解：（1）∵函數g（x）=

1

2

mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1），定義域為（-1，+∞）．
∴g′(x)=mx-2+

1

x+1

，∴g^′（0）=-2+1=-1．
∴切線l的方程為：y-1=-x，即y=-x+1，
∵切線l與曲線C有且只有一個公共點，
∴

1

2

mx²-2x+1+ln（x+1）=-x+1有且只有一個解0．
令h（x）=

1

2

mx2-x+ln(x+1)，
則h^′（x）=mx-1+

1

x+1

=

mx[x-( 1 m -1)]

x+1

，
①當m=1時，h′(x)=

mx2

x+1

≥0，h（x）在（-1，+∞）上單調遞增，滿足有且只有一個解0．
②當m＞1時，(

1

m

-1)∈(-1，0)，令h^′（x）=0，解得x=0或

1

m

-1．
列表如下：
由表格畫出圖象：當x→-1時，h（x）→-∞，h(

1

m

-1)＞h(0)=0，故在區(qū)間(-1，

1

m

-1)內還有一個交點，
即方程h（x）=0由兩個實數根，與已知有且僅有一個解矛盾，應舍去．
綜上可知：只有m=1滿足題意．
（2）由g′(x)=mx-2+

1

x+1

=

mx2+(m-2)x-1

x+1

＜0（x＞-1）?mx²+（m-2）x-1＜0．
令f（x）=mx²+（m-2）x-1（x＞-1，m≥1）．
則△=（m-2）²+4m=m²+4＞0，且其對稱軸x=-

m-2

2m

=

1

m

-

1

2

＞-1，
f（-1）=1＞0，
∴函數f（x）在（-1，+∞）上必有兩個不等實數根a=

(2-m)- m2+4

2m

，b=

(2-m)+ m2+4

2m

．
使得函數g（x）在區(qū)間[a，b]上單調遞減．
（3）由（2）可知：a+b=

2-m

m

，ab=-

1

m

，
∴c=b-a=

(b-a)2

=

(b+a)2-4ab

=

1+ 4 m2

，
∵m≥1，∴1＜

1+ 4 m2

≤

5

．
∴c的取值范圍是(1，

5

]．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的性質及“三個二次”的關系是解題的關鍵．