Question

如圖，O為坐標原點，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a＞0，b≠0），且交拋物線y²=2px（p＞0）于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點．
（1）寫出直線l的截距式方程；
（2）證明：+=；
（3）當a=2p時，求∠MON的大�。�

Answer 1

（1）解：直線l的截距式方程為+=1．①
（2）證明：由①及y²=2px消去x可得by²+2pay-2pab=0．②
點M、N的縱坐標y₁、y₂為②的兩個根，故y₁+y₂=，y₁y₂=-2pa．
所以+===．
（3）解：設直線OM、ON的斜率分別為k₁、k₂，
則k₁=，k₂=．
當a=2p時，由（2）知，y₁y₂=-2pa=-4p²，
由y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，相乘得（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，
x₁x₂===4p²，
因此k₁k₂===-1．
所以OM⊥ON，即∠MON=90°．
分析：（1）根據直線的截距式方程易知直線l的方程為+=1．
（2）欲證+=，即求的值，為此只需求直線l與拋物線y²=2px交點的縱坐標．由根與系數的關系易得y₁+y₂、y₁y₂的值，進而證得+=．
（3）設直線OM、ON的斜率分別為k₁、k₂，則k₁=，k₂=．因此k₁k₂===-1，所以OM⊥ON，即∠MON=90°．
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要根據實際情況，注意培養(yǎng)計算能力，把握公式的靈活運用，仔細審題，謹慎作答，避免不必要的錯誤．